MENTAL, un Lenguaje Simple Fundamento de la Complejidad

MENTAL, UN LENGUAJE
SIMPLE FUNDAMENTO
DE LA COMPLEJIDAD

“La ciencia es realmente la búsqueda de la simplicidad” (Claude A. Villee)

“En la profundidad más profunda se halla lo más simple” (Ken Wilber)

“Todo es muy difícil antes de ser sencillo” (Thomas Fuller)

Complejidad vs. Simplicidad
Complejidad y simplicidad son conceptos cualitativos opuestos que están conectados:

Ambos conceptos son ambiguos, que es necesario definir y formalizar, así como aclarar la relación entre ambos.
La complejidad está ligada a lo accidental, a lo superficial, a lo no importante. La simplicidad está ligado a lo importante, a lo esencial, a lo significativo. “La simplicidad consiste en eliminar lo obvio y añadir lo significativo” (John Maeda).
Complejidad y simplicidad son conceptos que pueden ser engañosos. Lo que aparentemente es complejo puede ser realmente simple o tener un origen simple.
- Una estructura fractal aparentemente muy compleja, como el fractal de Mandelbrot, tiene una ley generadora muy simple.
- La propagación de una enfermedad puede tener un origen simple, pero puede producir algo complejo y difícil de gestionar.
Y viceversa: lo que parece simple puede ser realmente complejo. Por ejemplo:
- Un teléfono móvil puede ser muy fácil de usar, pero esconde una gran complejidad.
- La Tierra contemplada desde el espacio lejano puede parecer simple, pero es realmente compleja.
- Los niños aprenden a hablar con una gran facilidad, tarea que puede parecer simple pero que es enormemente compleja.
Simplicidad y complejidad son conceptos paradójicos. En efecto, lograr la simplicidad es una tarea muy compleja. Pero una vez instalados en la simplicidad, lo complejo se vuelve simple.
“La simplicidad es compleja” (John Maeda).

“No hay nada tan complejo como la simplicidad” (Kai Krause).

“Lo mejor es siempre lo más simple, lo malo es que para ser simple hace falta pensar mucho” (John Steinbeck).

“Lo simple puede ser más difícil que lo complejo. Tienes que trabajar duro para conseguir despejar tu mente y hacer las cosas sencillas. Pero al final merece la pena porque una vez que lo consigues puedes mover montañas” (Steve Jobs).

“Irónicamente, incluso las cosas más simples pueden ser difíciles de entender porque son abstractas” (John Baez).

“La simplicidad es la última sofistificación” (Leonardo da Vinci).
Otro aspecto de la paradoja simplicidad-complejidad se manifiesta en la relación entre lo particular y lo general o universal: estudiar o modelar lo particular es más complejo que estudiar o modelar lo universal porque lo universal es siempre simple.

Características de la complejidad

La complejidad se presenta como algo confuso, irracional, contradictorio, desordenado, ambiguo, enmarañado, incierto, inquietante, irreductible, imperfecto y difícil o imposible de entender. Hay muchos sistemas que se pueden considerar complejos, como el cerebro, nuestro organismo y el universo.

Hoy día, el término “complejo” se refiere a un sistema en el que todo está interrelacionado, como un tejido de finos hilos. De hecho, el término complejo” viene de “complexus”, que significa “lo que está tejido junto”.
La complejidad implica un reconocimiento de las limitaciones de nuestra mente para comprender un sistema en toda su amplitud. Estas limitaciones están ligadas al pensamiento de inspiración cartesiana: racional, analítico, particular, separador, reduccionista, cuantitativo. Para superar estas limitaciones es necesario otro tipo de pensamiento: intuitivo, sistémico, holístico, global, unificador, generalizador, cualitativo. Estos dos modos de pensamiento o conciencia deben integrarse y complementarse.

La complejidad de un sistema está asociada a la diversidad de elementos constituyentes y sus relaciones y a nuestra ignorancia sobre su esencia, principios o fundamentos. Cuando nos enfrentamos con algo que consideramos complejo es porque no somos capaces de discriminar lo esencial, los constituyentes y relaciones fundamentales.

Características de la simplicidad

Racionalidad.
Lo simple se nos presenta como algo claro, racional, comprensible, ordenado, armónico, bello, cierto y perfecto. “Simplicidad = Cordura” (John Maeda).
Fundamentación.
Todo se fundamenta en la simplicidad. La complejidad solo se puede abordar desde la simplicidad.
Verdad.
La simplicidad nos acerca o nos conduce a la verdad, porque la verdad es simple.

“Se puede reconocer la verdad por su belleza y simplicidad” (Richard Feynman).

“Simplex sigillum veri” (La simplicidad es el sello de la verdad). Auditorio de física de la Universidad de Götinga.
Valor.
Lo simple tiene más valor que lo complejo.
“Cuanto más simple es una teoría, mayor es su valor” (Bertrand Russell).
Conciencia.
Hay que aprender a percibir lo simple que se oculta tras la complejidad. Esto conduce a una mayor conciencia, pues los mismos conceptos simples se esconden en todas las cosas. La simplicidad implica conciencia, poder, creatividad, y una nueva forma de contemplar el mundo.
Universalidad.
Cuanto más simple es una cosa, más general o universal es.
Unión mente-naturaleza.
La necesidad de la simplicidad no es solo para economizar, sino para profundizar en la naturaleza de la realidad: donde se encuentran la mente y la naturaleza.
Belleza.
En la simplicidad hay belleza porque hay armonía y orden.
“Lo que es bello es simple” (René Mey).
“La belleza reside en la simplicidad” (Einstein).
Creatividad.
La simplicidad es el gran motor de la innovación, de la creatividad y de la conexión profunda entre todas las cosas.
“La simplificación facilita el descubrimiento” (Gödel).

El desafío de la complejidad

El desafío de la complejidad es establecer un nuevo paradigma más general o universal:

Que se fundamente en un lenguaje simple general o universal.
Que sea un lenguaje de la conciencia.
Que integre ontología y epistemología.
Que integre simplicidad y complejidad.
Que contemple el problema del conocimiento del conocimiento.
Que integre lo computacional y lo descriptivo.
Que nos aproxime o conduzca a la verdad.
Que contemple todo tipo de relaciones entre sus elementos, no solo las causales.
Que sea de tipo fractal, es decir que los mismos principios, elementos o recursos se apliquen en todos los niveles.
Que sea un lenguaje humanista.
Que sea el fundamento de una ciencia universal que supere las disciplinas clásicas de organización del conocimiento y que tenga un enfoque transdisciplinario.
Que contemple todo tipo de sistemas, incluyendo el ser humano, la sociedad, la mente y la naturaleza.
Que permita formalizar la complejidad.
En los últimos años, se ha intentado formalizar el concepto ambiguo, difuso o psicológico de complejidad y a la vez superar las limitaciones de las disciplinas convencionales (o tradicionales). Surgen así las llamadas “ciencias de la complejidad”, todas basadas en un enfoque sistémico, que permiten la creación de modelos de sistemas complejos: la teoría general de sistemas, la teoría de la información, la cibernética, la teoría de la auto-organización, la teoría del caos, la teoría de fractales, etc.

Complejidad Computacional y Descriptiva
Complejidad computacional

La complejidad computacional de una entidad matemática se define como “la longitud del programa más corto que lo genera”. Se llama también “complejidad algorítmica” o “complejidad de Kolmogorov” y es una medida asociada al grado de dificultad de especificación de una entidad matemática mediante un programa, algoritmo o expresión operativa (constructiva, computacional) que genera dicha entidad.

Esta definición no hace referencia alguna a:

El tiempo de proceso. Se supone que el algoritmo debe ejecutarse en un número finito de pasos.
El espacio de memoria ocupado por el programa (espacio estático) y el espacio que necesita durante la ejecución (espacio dinámico). Se supone que el entorno computacional (teórico o real) es finito.
La posibilidad de que el algoritmo sea dinámico, es decir, que se automodifique durante la ejecución.

Para ilustrar el concepto de complejidad algorítmica, fijémonos en la estructura de las secuencias:

Si una secuencia x tiene un cierto patrón de formación de sus elementos, es posible generarla mediante una expresión más corta que la propia secuencia, es decir, se puede representar de forma comprimida. Su complejidad algorítmica K(x) es
Si una secuencia x es aleatoria, la expresión que la genera es la propia secuencia, no es posible comprimirla y su complejidad algorítmica es máxima (respecto a todas las secuencias de la misma longitud). En este caso,
Se demuestra matemáticamente que la mayoría de las secuencias de una longitud dada son aleatorias y, por lo tanto, incomprimibles. Kolmogorov demostró en los años 1960s que hay secuencias infinitamente largas que no se pueden comprimir y que tenían todas las propiedades de las secuencias aleatorias.
El patrón más simple de una secuencia corresponde al caso en el que todos sus elementos son iguales. En este caso, se puede lograr la máxima compresión y la complejidad es mínima (respecto a todas las secuencias de la misma longitud).
Los números naturales −un tipo especial de secuencias− son en su mayoría aleatorios. Sólo un subconjunto infinitesimal de ellos son comprimibles.

La complejidad algorítmica depende de dos factores:

El lenguaje utilizado.
Existe un teorema de invariancia que afirma que un lenguaje computacional puede emular a cualquier otro del mismo tipo, es decir, todos los lenguajes son computacionalmente equivalentes. Por lo tanto, se puede utilizar cualquier lenguaje, pero las longitudes de las expresiones en distintos lenguajes diferirán como máximo en una cierta constante.
El algoritmo de generación utilizado.
Es imposible asegurarse que el algoritmo utilizado sea el más corto posible. Solo puede establecerse un límite superior. Dado que podrían existir algoritmos alternativos más cortos (no conocidos), existe lo que se denomina “incertidumbre algorítmica” y, por lo tanto, la complejidad algorítmica es incomputable, es decir, indecidible.

Además de la incertidumbre algorítmica (cuando se dispone de al menos un algoritmo), existe incertidumbre cuando no somos capaces de encontrar ningún algoritmo (por ejemplo, para una secuencia) y no sabemos, por tanto, si dicha secuencia es o no aleatoria. El teorema de Chaitin demuestra que existen secuencias indecidibles, en el sentido de que es imposible conocer si son o no aleatorias. Este teorema es análogo al de Gödel relativo a los sistemas axiomáticos formales, en el que se demuestra que existen sentencias indecidibles.

El concepto de complejidad algorítmica fue planteado inicialmente por Ray Solomonoff, definido por Andrei Kolmogorov y ampliado posteriormente por Gregory Chaitin, todos ellos durante los años 1960s.

Complejidad descriptiva

Es la medida asociada a la dificultad de descripción de una entidad matemática. La complejidad descriptiva depende en este caso de tres factores:

Del lenguaje descriptivo utilizado.
Tradicionalmente se ha utilizado el lenguaje formal de la lógica matemática.
De la expresión descriptiva utilizada.
Puede haber varias formas alternativas válidas. También en este caso hay incertidumbre, pero de tipo descriptivo.
De la resolución, es decir, del grado de detalle de la descripción.

El tema de la complejidad descriptiva arranca en 1974, cuando Ron Fagin [1974] demuestra que la complejidad de la clase de problemas NP es la misma que la clase de problemas que se describen en la lógica existencial de segundo orden [ver Adenda]. Esto quiere decir que la complejidad computacional de un problema NP se puede entender en función de la complejidad de su descripción lógica.

Según Fagin, existe la siguiente correspondencia entre las medidas de la complejidad descriptiva y los recursos asociados a la complejidad algorítmica:

El nivel de profundidad de los cuantificadores se corresponde con el tiempo de cálculo en un entorno de computación paralelo.
El número de variables de la expresión descriptiva se corresponde con la cantidad de hardware necesario (memoria y procesadores).

La Complejidad según Wolfram
Un “nuevo tipo de ciencia”

Stephen Wolfram publicó en 2002 “A New Kind of Science” (NKS), un voluminoso libro (1197 páginas), resultado de muchos años de investigación en el campo de la computación, en el que afirma haber inventado/descubierto un paradigma científico universal para realizar modelos de sistemas y para entender el propio universo. Wolfram es el creador de Mathematica, un software de cálculo matemático y de representación gráfica, con el que realizó todas sus investigaciones. Éstas se centraron en los autómatas celulares (ACs) porque descubrió que un conjunto de reglas simples y de tipo local, aplicadas recursivamente, podían generar formas o patrones de gran complejidad. Esto se explica porque, aunque las reglas son locales, sus efectos (al aplicar las reglas recursivamente) se difunden por todo el sistema, afectándolo globalmente.

Un autómata celular (AC) es un sistema de computación discreto. Esta formado por una rejilla de una o más dimensiones, constituida por celdas, en donde cada celda tiene un estado dentro de un conjunto finito de estados (por ejemplo, blanco o negro), y un conjunto finito de reglas locales que establecen la evolución del sistema en el tiempo (discreto), de tal forma que el estado de cada celda en el tiempo t+1 es función del estado en el tiempo t de las celdas vecinas. Cada vez que se aplican las reglas, se obtiene una nueva generación, obteniéndose así un modelo dinámico simple que puede producir resultados complejos. La publicación de NKS provocó cierta polémica. Para unos no era ningún avance, sino una presentación (un tanto exhaustiva) de cosas ya conocidas. Para otros, estas ideas amenazan incluso a la propia noción de ciencia.

Las conclusiones de Wolfram, tras muchos años de investigación, se pueden resumir así:

Todos los procesos, los naturales (los que ocurren espontáneamente en la naturaleza) y los artificiales (los producidos por el esfuerzo humano) se pueden considerar computaciones. Todo es computación en la naturaleza. Y todo proceso se puede representar mediante un modelo de ACs.
El universo como sistema se puede considerar como un computador.
Tras todo proceso natural existe un programa informático (algoritmo) responsable de ese proceso. Por lo tanto, debe haber también un programa que gobierne el universo entero.
Hay que explorar sistemáticamente el “mundo computacional”, el mundo abstracto constituido por el conjunto de todos los posibles programas que pueden escribirse. Aunque este conjunto es infinito, se puede investigar a partir de lo más simple. Wolfram eligió inicialmente los ACs unidimensionales, con dos estados (blanco y negro) y reglas basadas en este estado y el de las celdas adyacentes.

Este enfoque es el opuesto al que se hace normalmente, que consiste en buscar modelos teóricos de los fenómenos naturales. Para Wolfram, explorar el abstracto mundo computacional es de gran importancia para comprender el mundo natural, porque aporta nuevas ideas y funcionalidades. Hay que experimentar el mundo computacional y luego confrontar los resultados con el mundo natural.
Las computaciones discretas permiten capturar todos los fenómenos físicos. No se necesitan ecuaciones, como en la ciencia convencional, que utiliza modelos representados por ecuaciones con variables continuas y que no tienen relación directa con la naturaleza, pues el universo es discreto. Además, las ecuaciones no funcionan con fenómenos complejos, por lo que no pueden modelizar la naturaleza. La matemática tradicional no puede representar la complejidad, pero los sistemas complejos se pueden algoritmizar.
El universo se explica mejor sobre la base de de simples programas de ordenador constituidos por reglas sencillas aplicadas recursivamente. Para Wolfram, la naturaleza está escrita en el lenguaje de los programas de ordenador, corrigiendo a Galileo, que afirmaba que la naturaleza está escrita en el lenguaje de las matemáticas.
La naturaleza utiliza los algoritmos más simples posibles (principio de economía computacional). Cuanto más simple sea un algoritmo, más probable es que la naturaleza lo utilice. Por ejemplo, hay infinitas formas posibles de conchas, pero en la naturaleza solo existe media docena. La selección natural, en este caso, es la selección de la simplicidad. Cuanto más simple es un sistema, más probable es que aparezca en contextos complejos. La naturaleza utiliza conocimiento simple, de máxima economía computacional y reutilizable.
En esencia, en lo profundo, todo es simple. La complejidad es solo aparente, en lo superficial. Toda la complejidad del universo emana de una serie de reglas simples. La complejidad de los sistemas se debe solamente a la gran cantidad de componentes simples que interactúan simultáneamente.
El universo es un gigantesco AC. El universo está “ejecutando” un solo algoritmo, que tiene que ser forzosamente simple. La “teoría final” sería conocer el código (las reglas) de este algoritmo.
Solo existen cuatro clases de comportamiento en los ACs:
- La clase 1 son patrones repetitivos y homogéneos, sin interés.
- La clase 2 son patrones estables o periódicos.
- La clase 3 son patrones bien definidos, pero organizados de forma caótica..
- La clase 4 son patrones que no son ni regulares ni aleatorios. Aparece un cierto orden, aunque impredecible. Y aparenta inteligencia. La regla 110 es el paradigma de este comportamiento.
Los sistemas de clases 3 y 4 son universales y, por consiguiente, computacionalmente equivalentes. El AC que gobierna el universo es de clase 4.
Todos los procesos tienen las mismas limitaciones fundamentales derivadas de los recursos disponibles. El universo entero está continuamente computando su futuro y lo hace a la velocidad que puede por las limitaciones de las leyes básicas de la naturaleza.
El paradigma AC es un modelo universal de computación, como la máquina de Turing, es decir, permite ejecutar cualquier algoritmo. Concretamente, de todas las reglas exploradas por Wolfram, la 110 corresponde al AC más simple y es el fundamento de la computación universal. La universalidad de la regla 110 fue primero conjeturada por Wolfram y posteriormente demostrada por su ayudante Matthew Cook [2004].

El Principio de Equivalencia Computacional (PEC)

Es el resultado o conclusión más importante de Wolfram: “Hay varias formas de establecer el PEC, pero probablemente el más general es decir que casi todos los procesos que no son obviamente simples se pueden considerar como computaciones de sofistificación equivalente”. Según Wolfram, no hay diferencia fundamental entre un AC de 30 reglas y una mente humana, o entre un huracán y el universo entero. Todos son cómputos de complejidad equivalente. Para Wolfram, el PEC es una ley de la naturaleza, comparable en importancia a la ley de la gravedad, pues lo comparten todos los procesos del universo.

La definición de PEC es un tanto críptica, se puede interpretar de la manera siguiente:

Computacionalmente, casi todos los procesos (naturales y artificiales) son equivalentes. No existe diferencia computacional entre un ordenador, el vuelo de un pájaro, la subida de la bolsa, la expansión del universo, la evolución biológica y el propio ser humano (incluyendo la mente humana).
Casi todos los procesos tienen el mismo nivel de complejidad. No hay niveles de complejidad. Solo hay un nivel de complejidad más allá del trivial.
Una vez que se alcanza la complejidad, ésta no se puede superar. El límite superior de complejidad es relativamente bajo. “Todo sistema alcanza un nivel máximo de complejidad, que puede determinarse por el esfuerzo de computación necesario para producir el resultado final”.
Los recursos necesarios para realizar computaciones complejas son, en potencia, los mismos.

El principio de irreductibilidad computacional

Este principio tiene dos aspectos:

Dado un modelo formado por un conjunto de reglas previamente conocidas, puede llevar una cantidad irreducible de trabajo computacional el descubrir la consecuencia del modelo. Es decir, no se puede predecir el resultado final, siendo necesario pasar por todos los estados intermedios.

Algunos modelos tienen reductibilidad computacional (se puede prever el resultado), pero los modelos más interesantes son los que tienen irreductibilidad computacional, pues hacen un uso más rico y creativo de los recursos.
No se puede hacer ingeniería inversa. Es decir, dados los datos, no es posible deducir o encontrar el modelo correspondiente (el conjunto de reglas).

Crítica de NKS

La aparición de la complejidad a partir de reglas simples no es exclusivo de los ACs. Ocurre con los fractales, en la teoría del caos, en los sistemas auto-organizados, etc.
Los algoritmos utilizados son muy limitados. Están basados exclusivamente en ACs con reglas particulares. No son suficientemente genéricos, pues no contemplan otras estructuras de información. Tampoco contempla algoritmos evolutivos, es decir, reglas dinámicas (reglas que pueden cambiar durante el proceso).
Todas las deducciones de Wolfram se basan en interpretaciones o intuiciones, no en demostraciones formales.
No habla explícitamente de meta-reglas, aunque presupone que en el universo existe una regla unificadora: una regla en el corazón de todo y que genera todas las demás reglas del universo. Wolfram está muy lejos de descubrir las leyes (supuestamente simples) del universo.
Respecto al PEC, afirmar que no existen niveles de complejidad es ignorar la definición de complejidad computacional, bien establecida y fundamentada por Kolmogorov, Solomonoff y Chaitin: “La complejidad de una expresión es la longitud del algoritmo capaz de generarla”. Por lo tanto, no existe límite superior en la complejidad, es infinita.

La equivalencia computacional habría que entenderla en el sentido de que siempre se utilizan el mismo tipo de recursos para llevar a cabo las computaciones. O, más general aún, quizás Wolfram intuyó, cuando formuló este principio, que tras todos los fenómenos, del tipo que sea, subyacen las mismas primitivas universales. En este sentido, todos los fenómenos son equivalentes porque son manifestaciones de las mismas primitivas. Entonces, el PEC como ley de la naturaleza debe sustituirse por las primitivas semánticas universales, pero no como leyes sino como los principios esenciales de la mente y la naturaleza.

Complejidad en MENTAL
Teoría de la simplicidad

La teoría de la complejidad se debería llamar realmente “teoría de la simplicidad”, por las siguientes razones:

La complejidad se fundamenta en la simplicidad, pues la complejidad es la consecuencia, la manifestación de la simplicidad aplicada recursivamente. Aquí la coincidencia con Wolfram es total.
La simplicidad y la complejidad son los dos polos de la realidad y están estrechamente relacionados. Lo simple es lo interno, lo profundo. Lo complejo es lo externo, lo superficial. La complejidad es solo aparente, pues aparece o se manifiesta solo en lo superficial.

Descubrir que la simplicidad y la complejidad están conectadas expande nuestra conciencia y nuestra concepción de la realidad.
Cuando se comprime una expresión, se reduce la complejidad (que es un aspecto externo) y se aumenta nuestra comprensión. Dice Chaitin: “Comprender es comprimir”. Habría que añadir que “comprender es ver lo simple en lo complejo” o “comprender es simplificar”. La simplicidad máxima conduce al poder y a la sabiduría, donde todo está conectado.

MENTAL, un lenguaje simple fundamento de la complejidad

MENTAL cumple los criterios del desafío de la complejidad:

Es un lenguaje simple general o universal. Es simple porque solo consta de 12 primitivas semánticas universales (y sus opuestas o duales), donde la semántica lexical es igual a la semántica estructural.
Es un lenguaje de la conciencia. La conciencia viene con la integración de los opuestos.
Integra ontología y epistemología.
Integra simplicidad y complejidad.
MENTAL es una teoría (y práctica) de la simplicidad. MENTAL une lo simple y lo complejo. Es el paradigma de la simplicidad: unos pocos principios simples conducen por combinatoria a la variedad y complejidad del mundo. MENTAL aclara definitivamente la relación entre simplicidad y complejidad.
Integra lo computacional y lo descriptivo.
Resuelve el problema del conocimiento del conocimiento. MENTAL resuelve el problema del conocimiento del conocimiento, pues los mismos arquetipos primarios están presentes en el conocimiento y en el meta-conocimiento. La comprensión total solo puede lograrse desde la simplicidad de los arquetipos primarios.
Nos aproxima o conduce a la verdad. La verdad reside en los arquetipos primarios, fundamento de todos los mundos posibles.
Contempla todo tipo de relaciones entre sus elementos.
MENTAL permite interrelacionar todo con todo, es decir, establecer relaciones de todo tipo, y no solo causales.
Es un lenguaje fractal.
Las mismas primitivas se aplican en todos los niveles”.
“La autosimilitud es la forma más simple de construir complejidad” (Jorge Wagensberg).
Es un lenguaje humanista. Integra ciencia y filosofía. Es un lenguaje filosófico porque sus primitivas son categorías filosóficas.
Es el fundamento de una ciencia universal y tiene un enfoque transdisciplinario.
Contempla todo tipo de sistemas, incluyendo el ser humano, la sociedad, la mente y la naturaleza. MENTAL es un modelo de la mente y de la naturaleza.
Permita formalizar la complejidad.
Se describe en el siguiente apartado.

Definición unificada de complejidad

Como MENTAL es un lenguaje operativo y descriptivo, podemos unificar los dos aspectos de la teoría de la complejidad (la complejidad computacional y la complejidad descriptiva) mediante la definición siguiente: la complejidad de una entidad o expresión matemática es la longitud de la expresión más corta que la genera o describe. Ejemplos (la última columna es la complejidad):

Tipo	Entidad	Expresión	Complej.
Átomo	`a`	`a`	1
Secuencias de elementos repetidos	`aaaaaaaaa`	`( a★9 )`	7
Secuencias de elementos repetidos	`(abc abc abc)`	`( abc★3 )`	9
Secuencias infinita de elementos iguales	`aaaa…`	`( a★ )`	6
Secuencias infinita de elementos iguales	`(abc abc …)`	`( abc★ )`	8
Predefinidas	Expresión nula	`θ`	1
	Expresión disyuntiva universal	`α`	1
	Expresión conjuntiva universal	`Ω`	1
	Secuencia vacía	`()`	2
	Conjunto vacío	`{}`	2
Distribuciones	`(au av aw)`	`(a[u v w])`	16
Distribuciones	`(aub avb awb)`	`(a[u v w]b])`	11
Rangos discretos finitos	Secuencia de números naturales entre 1 y 100	`( 1…100 )`	9
	Secuencia entre `n` y `n`+10	`( n…(n+10) )`	12
	`(1 3 5 7 9 11)`	`(1 3 … 11)`	10
Rangos discretos infinitos	Números naturales	`{ 1… }`	6
Rangos discretos infinitos	Números naturales impares	`{1 3 …}`	7
Rango continuo	Números reales entre 0 y 1	`{⟨r ← r≤0 ← r≤1⟩}`	16
Función	Función de dos variables	`⟨(f(x y) = (x+y x*y))⟩`	22

Observaciones:

En general, la complejidad de una secuencia infinita es menor que la de las secuencias finitas.
Los blancos dentro de una expresión cuentan para el cálculo de la complejidad. Varios blancos seguidos cuentan como uno solo.
Si se ha asignado previamente un nombre a algo que puede ser complejo, su descripción es trivialmente corta y su medida de la complejidad puede ser mínima. Es el caso de θ, α y Ω, que tienen complejidad 1.
La complejidad puede variar desde 1 hasta infinito. No hay límite superior para la complejidad.
A la complejidad de una expresión que utiliza derivadas, habría que añadir la longitud del código correspondiente a esas derivadas. Es el caso, por ejemplo, de la repetición, del rango y la distribución.

Adenda
Distinción entre información y complejidad computacional

Shannon presentó en 1948 la teoría moderna de la información. Definió la información I asociada a un evento de probabilidad P como

₂

binary digit− es la unidad de información y corresponde a la información asociada a un evento de probabilidad P =1/2. El valor asociado a un bit se representa como 0 o 1.

Si tenemos una secuencia x de n bits y cada elemento (0 y 1) tiene la misma probabilidad (1/2), la información asociada a una cadena específica x es

₂

ⁿ

Es decir, la información es la longitud de la secuencia.

Si la secuencia x es aleatoria, su complejidad algorítmica coincide con la información:

Shannon introdujo también el concepto de entropía (H) de la información, con el objeto de medir el grado de aleatoriedad (o desorden) de una cadena de bits equiprobables:

F_i

₂

en donde F_i es la frecuencia relativa de aparición del evento i, y m es el número de eventos.

Ejemplos:

Secuencia	F₀	F₁	H
00100010	6/8	2/8	0.81
01010101	4/8	4/8	1
00000000	8/8	0/8	0

De aquí se deduce que la fórmula de Shannon no es adecuada para cuantificar la aleatoriedad, pues intuitivamente se ve que la primera cadena es más aleatoria que la segunda y, sin embargo, su entropía es menor. La fórmula de la entropía, como se deduce de su definición, tiene más sentido cuando se aplica a bolsas (conjuntos con elementos repetidos y donde el orden no se tiene en cuenta).

El concepto de complejidad algorítmica es más genérico que el de información porque se puede aplicar a cualquier entidad matemática, sin considerar probabilidades o frecuencias.

Lógica existencial de segundo orden

La lógica de primer orden es la lógica que utiliza predicados o relaciones entre elementos. Las fórmulas son de la forma P(x₁,…,x_n), siendo P el predicado y x₁,…,x_n los elementos. Los elementos variables se pueden cuantificar (con el cuantificador universal ∀ o el existencial ∃), pero no se pueden cuantificar los predicados.

La lógica de segundo orden es la lógica de primer orden, junto con la posibilidad de cuantificar los predicados y especificarlos mediante variables.

La lógica existencial de segundo orden es la lógica de segundo orden en la que las variables de los predicados están cuantificadas con el cuantificador existencial ∃.

Clases de complejidad de los problemas

Existen varias clases de complejidad de problemas, dependiendo del tipo de algoritmo utilizado para resolverlo, así como los recursos de espacio (memoria) y tiempo necesarios:

Clase	Algoritmo	Espacio	Tiempo
L	Determinista	Logarítmico	-
NL	No determinista	Logarítmico	-
P	Determinista	-	Polinómico
NP	No determinista	-	Polinómico
PSPACE	Determinista	Polinómico	-

Como el teorema de Fagin hace referencia a la clase NP, vamos a explicar las diferencias entre las clases P y NP:

La clase de problemas P son los que tienen una solución algorítmica (determinista) eficiente, en tiempo polinómico.
La clase de problemas NP son los que no tienen una solución algorítmica determinista eficiente, pero sí la tienen con un algoritmo no determinista, en tiempo polinómico.

Un algoritmo no determinista es aquel que no se ejecuta según un esquema fijo, sino que varía en función de decisiones adoptadas durante su ejecución. Un ejemplo de problema NP es el famoso problema del viajante, en el que existen algoritmos no deterministas que lo resuelvan eficientemente.

Todo problema de P está en NP (P ⊂ NP), pero lo contrario (NP ⊂ P) no se ha demostrado. Subsiste la duda de si P = NP.

Autómatas celulares vs. Fractales

Existen varios paralelismos y analogías entre los ACs y los fractales:

Ambos se consideran nuevos paradigmas científicos, con pretensiones universales.
Ambos afirman que pueden modelar y emular diferentes formas y procesos naturales.
Ambos afirman que pueden aplicarse a muchos dominios: arquitectura, lingüística, economía, música, ciencias cognitivas, ciencias sociales, física, etc.
Ambos utilizan un conjunto de reglas simples, aplicadas recursivamente, para generar la complejidad. De hecho, con los ACs también se generan formas fractales.
Ambos son herramientas para la creatividad.

Los ACs constituyen un paradigma universal, habiéndose aplicado, como los fractales, a diversidad de áreas, en especial para la generación de patrones de la naturaleza: formas de las conchas marinas, cristales y copos de nieve, pigmentación en los animales, crecimiento de las plantas, filotaxis (disposición de las hojas sobre el tallo de las plantas), formación de galaxias, etc. Y también para robótica, simulación de flujo de fluidos, bioingeniería, criptografía, sistemas auto-organizados, nanotecnología, fractura de materiales, química (formación de moléculas), arquitectura, arte, música, etc.

Origen de los autómatas celulares

Los ACs fueron concebidos en los años 1940s por Konrad Zuse y Stanislaw Ulam.

Konrad Zuse publicó un artículo en 1967 y posteriormente [1969] un libro (Calculating Space) en el que afirmaba que el universo es el resultado de un proceso computacional discreto funcionando sobre un autómata celular gigante de tipo determinista.

Las contribuciones de Ulam vinieron al final de los años 1940s, poco después de haber inventado (junto con Nicholas Metropolis y John von Neumann) el método de Montecarlo, un método estadístico (no determinista) utilizado para aproximar expresiones matemáticas complejas.

John von Neumann, también en los años 1940s, aplicó los ACs (a sugerencia de Stanislaw Ulam) en el estudio de sistemas complejos, en concreto en el diseño de autómatas autorreprodutores (autómatas que se reproducen a sí mismos) y que reflejó en su libro “Theory of Self-reproducing Automata”.

El juego de la vida, de Conway

El juego de la vida, creado por John Conway, es un AC bidimensional con dos estados (blanca o negra) para cada célula, que representa el paradigma de la complejidad dinámica a partir de lo simple: tres reglas muy simples producen resultados dinámicos extremadamente complejos. Las reglas son:

Si una celda negra tiene 2 ó 3 vecinas negras, permanece negra.
Si una celda blanca tiene 3 vecinas negras, se convierte en negra.
En el resto de los casos, la celda permanece blanca (si es blanca) o se convierte en blanca (si es negra).

Simplejidad

La simplejidad (simplexity) es una nueva teoría que propone una relación dual o complementaria entre simplicidad y complejidad. Se atribuye a Anuraj Gambhir un visionario e innovador en el campo de las tecomunicaciones móviles la creación de este término, que fusiona los términos de simplicidad y complejidad. Pero fue el libro “Simplejidad: Por qué las cosas simples acaban siendo complejas y cómo las cosas complejas pueden ser simples”, de Jeffrey Kluger [2009], el que quizás más ha contribuido a la popularización de este término.

Kluger analiza en su libro los sistemas tecnológicos y sociales. Estudia también el comportamiento humano y la forma en que percibimos las cosas y los eventos. Establece un paralelismo entre sistemas aparentemente dispares según su grado de simplejidad. Propone una nueva teoría obre cómo funcionan realmente las cosas, teoría que aplica a una gran variedad de temas. Incluso afirma que entendiendo la relación entre simplicidad y complejidad puede hacer mejorar la vida de las personas. Pero se echa en falta en el libro el cómo hacer que las cosas principalmente los productos tecnológicos sean más simples.

Pléctica

Murray Gell-Mann −premio Nobel de física en 1969 por el desarrollo del modelo de los quarks, las partículas componentes de los nucleones (los protones y neutrones)− acuñó el término “plectics” (pléctica) para referirse a un dominio de investigación interdisciplinario en los que intervienen los aspectos de simplicidad y complejidad. Más abreviadamente, la pléctica es la ciencia que estudia la simplicidad y la complejidad, y su interacción entre ellas, en todo tipo de sistemas.

La inspiración de Gell-Mann para crear y denominar esta ciencia se basó en la diferencia entre las leyes simples que gobiernan el comportamiento de la materia a nivel cuántico y la complejidad resultante del proceso de evolución. A nivel cuántico, a nivel profundo, las partículas tienen uniformidad, no tienen individualidad, son intercambiables. En cambio, a nivel superficial hay diversidad e individualidad. En su obra “El quark y el jaguar” [1995], el quark simboliza lo simple y el jaguar lo complejo, y se pregunta cómo lo simple puede llegar a crear lo complejo.

Gell-Mann eligió la palabra “pléctica” porque hace referencia a la vez a lo simple y a lo complejo. Recomienda este término en lugar de “ciencia de los sistemas” o “teoría de sistemas” porque “sistema” es un término demasiado genérico.

En latín, “plexus” significa trenzado, entrelazado o entretejido, y es un término de la que deriva”complejo”.
En latín, “simplex” significa “simple” y literalmente significa “plegado una vez”.

Utiliza el sufijo griego “ics” (ica) como en matemática, informática, ética, política, etc.
En griego, “plektos” significa “trenzado junto”.
En griego, “symplektikos” significa “que entrelaza” o “que une”, y es el origen el término matemático “simpléctico”, un término usado por primera vez en 1939 por Hermann Weyl.

Gell-Mann fue Distinguished Fellow en el Instituto Santa Fe (Nuevo Méjico), un instituto de estudios interdisciplinarios (del que fue cofundador), dedicado al estudio de la complejidad de los sistemas naturales, artificiales y sociales. En especial, estudia los sistemas adaptativos complejos (complex adaptative systems), los sistemas que son capaces de aprender, adaptarse, auto-organizarse, evolucionar y producir comportamientos emergentes; los sistemas dinámicos no-lineales, incluyendo la teoría del caos; la evolución biológica; el desarrollo de ecosistemas; el aprendizaje; la evolución de los lenguajes humanos; el auge y caída de las culturas; el comportamiento de los mercados; etc. Gell-Mann se declaró contrario al reduccionismo puro. Según él, el reduccionismo no es el camino para hacer ciencia, aunque reconoció que la búsqueda de la simplicidad es un criterio o método útil en la búsqueda de las leyes fundamentales de la ciencia. En este sentido se opuso a las ideas reduccionistas de científicos como Steven Weinberg y Richard Feynman.

El pensamiento complejo, de Edgar Morin

Edgar Morin es el creador del concepto “pensamiento complejo” [Morin, 1990], un tipo de pensamiento necesario para abordar la complejidad de la realidad y que tiene las características siguientes:

La complejidad responde al principio de la unidad en la diversidad.
Para comprender la complejidad debemos conocer también la simplicidad. “No podemos intentar entrar en la problemática de la complejidad si no entramos en la de la simplicidad”.
La complejidad solo puede entenderse mediante la relación parte-todo.
Se necesita una lógica dialéctica que armonice las contradicciones entre orden y desorden, entre productor y producto, entre sistema abierto y cerrado, etc. “El nivel profundo de la realidad cesa de obedecer a la lógica clásica o aristotélica”.
El conocimiento es una aventura en espiral, sin final, y cuyo punto de partida es histórico. Jamás podremos alcanzar la verdad y el saber total, pero pueden hacerse aproximaciones sucesivas para acercarnos a la realidad invisible. “Toda explicación, toda intelección jamás podrá encontrar un principio último”.
Solo hay una ciencia de lo general.
Los recursos cognitivos comunes a las diferentes disciplinas, para lograr la unidad del conocimiento, ya existen y se encuentran en tres disciplinas: la teoría general de sistemas, la cibernética y la teoría de la información.
El problema de la epistemología de la complejidad es el mismo que el del conocimiento del conocimiento.
Hay que utilizar metáforas. Las metáforas establecen una comunicación analógica entre diferentes realidades que permiten superar el aislamiento de las cosas.
El problema de la complejidad es doble: la organización creciente (la biológica, de entropía negativa) y la desorganización creciente (la física, de entropía positiva).
Hay dos tipos de complejidad: la complejidad restringida (la complejidad de un sistema determinado) y la complejidad de tipo general y humanista.
Hay que utilizar un enfoque multidisciplinario para aproximarse a la verdad. Más allá de lo disperso y diverso, en lo profundo, hay leyes.
Hay que integrar ciencia y filosofía.
La originalidad de la vida reside en su complejidad organizacional. Organización por recursión, por autoproducción.

Morin plantea 7 principios para fundamentar el pensamiento complejo:

El pensamiento sistémico u organizativo.
Está basado en la relación parte-todo, siguiendo la filosofía de Pascal: “Pienso que es imposible concebir las partes sin el conocimiento del todo”.
El pensamiento hologramático.
El todo está inscrito en las partes y el todo está inscrito en las partes. Hay una dinámica continua entre el todo y las partes. Este tipo de pensamiento es diferente del holístico, porque este es de tipo reduccionista, pues solo ve el todo.
El pensamiento de retroalimentación.
La causa actúa sobre el efecto y el efecto actúa sobre la causa.
El pensamiento de bucle recursivo en la auto-producción y auto-organización.
El concepto sistémico clave es el de bucle de realimentación o causalidad circular. Hay bucles retroactivos (como en la cibernética), para definir procesos autorregulados, y bucles recursivos: productos y efectos son productores y causantes de lo que producen.
El pensamiento de autonomía que contempla sistemas abiertos y cerrados a la vez.
El pensamiento dialógico.
Para comprender nociones antagónicas. Une los opuestos, que se complementan y coexisten: diferencia y unidad, autonomía y dependencia, conocedor y conocimiento, parte y todo, orden y desorden, sistema y entorno (o ecosistema), etc. “Hay que religar lo que estaba considerado como separado”.
El pensamiento de reintroducción del que conoce en lo conocido.
Todo conocimiento es una reconstrucción o traducción. “Nuestras visiones del mundo son traducciones del mundo”.

Las 10 leyes de la simplicidad, de John Maeda

John Maeda −diseñador gráfico, artista visual y tecnólogo informático− propone un acercamiento humanista al diseño en general, y a la tecnología en particular, mediante sus 10 leyes de la simplicidad [Maeda, 1966]:

Reducir. Reducir escondiendo los atributos y funcionalidades de un producto, de tal manera que solo aparezcan las que necesita el consumidor o el usuario. La calidad debe estar incorporada en un producto, pero sin que se vea directamente.
Organizar. Un sistema complejo organizado hace que parezca más sencillo.
Tiempo. Ahorrar tiempo hace que las cosas parezcan más simples.
Conocimiento. El conocimiento lo simplifica todo.
Diferencia. Simplicidad y complejidad se necesitan mutuamente. La simplicidad solo se percibe como contraste de la complejidad. Por ejemplo, un aparato de un solo botón sorprende y se le ve simple porque se esperan más botones.
Contexto. Lo que se encuentra en la periferia de la simplicidad no es nada periférico, sino muy relevante.
Emoción. Un producto debe emocionar.
Confianza. Hay que confiar en que la simplicidad es el camino seguro para el diseño y la comunicación.
Fracaso. A veces el fracaso es necesario para lograr el objetivo final de la simplicidad.
La única. La simplicidad consiste en eliminar lo obvio y añadir lo importante y significativo. Según Maeda, esta ley es un resumen de las anteriores y constituye una simplificación de las leyes de la simplicidad. Esta ley se basa en 3 claves:
1. Distancia. Desde fuera, desde lejos, todo parece más simple. Nos permite ver el bosque (lo simple) y no los árboles (lo complejo).
2. Apertura. Lo que está abierto inspira confianza y hace parecer más simple.
3. Energía. Hay que ahorrar energía usando los menores recursos posibles.

Maeda describe en el libro su lucha por comprender el sentido de la existencia desde su condición de tecnólogo humanista. El libro está escrito con los mismos principios que postula, y es una guía para construir un mundo más sencillo.

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